АБСЦИСИ ЗБІЖНОСТІ ВИПАДКОВИХ КРАТНИХ РЯДІВ ДІРІХЛЕ

Анотація

Нехай $F_{\omega}(s ) = \sum_{\|n=0\|}^{\infty} f(n) (\omega) \exp \{( \lambda_{(n)},s)\},$ де показники $\lambda_{(n)}=(\lambda^{(1)}_{n_1},\ldots, \lambda^{(p)}_{n_p})\in\mathbb{R}^p_+=[0,+\infty)^p,$ $(n)=(n_1, \ldots, n_p)\in\mathbb{Z}^p_+,$ $\mathbb{Z}_+:=\mathbb{N}\cup\{0\},$ $p\in\mathbb{N},$ $\|n\|=n_1+\ldots+n_p,$ а коефіцієнти $(f_{(n)}(\omega))$ є попарно незалежними комплексними випадковими величинами. У статті, зокрема доведено такі
твердження: 1) Якщо $\tau(\lambda) : = \lim_{\|n\|\to+\infty} \ln \|n\| /\| \lambda_{(n)}\|=0,$ то для того, щоб ряд Діріхле збігався м.н. скрізь в $\mathbb{C}^p$ необхідно і досить, щоб
$$(\forall \Delta > 0) : \sum_{\|n\|=0}^{+\infty} (1-F_{(n)} (\exp(-\Delta\|\lambda_{(n)}\|)))<+\infty.$$ 2) Якщо $\tau(\lambda) = 0$ і $\sigma\in\partial G_a\cap(\mathbb{R}_+\setminus\{0\})^p$ м.н., то

$$(\forall\varepsilon>0):  \ \sum_{\|n\|=0}^{+\infty} (1-F_{(n)}(e^{(-1+\varepsilon)(\sigma,\lambda_{(n)})}))<+\infty \ \wedge \ \sum_{\|n\|=0}^{+\infty} (1-F_{(n)}(e^{(-1-\varepsilon)(\sigma,\lambda_{(n)})}))=+\infty $$
де $F_{(n)}(x) := P\{\omega:|f_{(n)} (\omega)|<x\},$ $x\in\mathbb{R},$ $(n)\in\mathbb{Z}^+_p,$
– функція розподілу $|f_{(n)}(\omega)|,$ $\partial G_a$ — множина спряжених абсцис збіжності випадкового ряду Діріхле $F_{\omega}.$