ПРО СТIЙКIСТЬ МАКСИМАЛЬНОГО ЧЛЕНА ФУНКЦIОНАЛЬНОГО РЯДУ ЗА СИСТЕМОЮ ФУНКЦIЙ

Анотація

Через $L_+$ позначимо клас додатних неерервних на $\mathbb{R}_+:=[0,+\infty)$ функцій $l(t)$ таких, що $l(t) \uparrow +\infty$ $(t\to +\infty)$, а через $\mathcal{W}$ -- клас функцій $w\in L_+$ таких, що
$
\int\nolimits_{1}^{+\infty}{x^{-2}{w(x)}dx}<+\infty.
$
Розглядаються функціональні ряди вигляду $F(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kf(x\lambda_k),$ де $\Lambda=(\lambda_k)$ послідовність невід'ємних чисел, $a_k\geq 0$ $(k\geq 0)$, $f$ додатна зростаюча до $+\infty$\ на $[0;+\infty)$\ функція така, що $f(0)=1$\ а функція $\ln
f(x)$\ є опуклою на інтервалі $[0;+\infty)$. Позначимо
$F_w(x)=\sum\nolimits_{k=0}^{+\infty}a_ke^{w(\lambda_k)}f(x\lambda_k),$
$$
\nu_0(t)=\nu\{u\geq 0\colon \ln f(u)\leq t\},\quad \nu(G)=\sum\nolimits_{\lambda_{n}\in G}{e^{w(\lambda_{n})}}
$$ для кожної обмеженої множини $G\in\mathbb{R}_+$, де $w\in L_+$. Основним результатом статті є таке твердження:
Якщо існує така функція $w\in L_+$, що $a_ne^{w(\lambda_n)}f(\lambda_nx)\to 0$ для кожного $x>0$,\ $\ln\nu_0\in \mathcal{W}$,
то існує множина $E\subset
\mathbb{R}_{+}$ скінченної міри Лебега така, що асимптотичне співвідношення
$\ln \mu(x,F)=(1+o(1))\ln \mu(x,F_w)$
виконується при $x\to +\infty$ зовні множини $E$, де $\mu(x,F)=\max\{a_kf(x\lambda_k)\colon k\geq 0\}$.