ПРО ОСНОВНЕ СПІВВІДНОШЕННЯ ТЕОРІЇ ВІМАНА-ВАЛІРОНА І АСИМПТОТИЧНА h-ЩІЛЬНІСТЬ ВИНЯТКОВИХ МНОЖИН

Анотація

Нехай $L$ --- клас додатних зростаючих на $[0;+\infty)$ функцій, а $L_{1}$ --- його підклас, який складається з функцій $h\in L$ таких, що $h\Big(x+\frac{1}{h(x)}\Big)=O(h(x)),(x\to +\infty).$ Для вимірної за Лебегом множини $E\subset [0;+\infty),$ що має скінченну міру Лебега $\mathop{\rm meas } E=\int_{E}dx < +\infty,$ визначимо її нижню асимптотичну $h$-щільність у нескінченності  $\displaystyle {d}_{h}(E)= \varliminf_{R \rightarrow +\infty} h(R)\cdot \mathop{\rm meas }(E \cap [R;+\infty)).$   Нехай $S(a,b),$\ $-\infty\le a<b\le +\infty,$\ --- клас аналітичних в  $\Pi(a,b)=\{z: a<{\rm Re}\, z<b\}$ функцій таких, що $(\forall x\in(a,b))\colon\ M(x,F):=\sup\{|F(t+iy)|: a<t\le x, y\in{\mathbb R}\}<+\infty,$ а $L(x,F)=(\ln M(x,F))'_+$ -- правостороння похідна.Доведено таку теорему: Нехай функції $\Phi, h \in L,$\ такі, що $ h(2r)=o(\Phi(r)) (r\rightarrow\infty).$ Якщо $F \in S_{\infty}(0,\infty)$ і $\displaystyle(\exists x_{n}\nearrow + \infty\ (n\to +\infty))\colon\quad L(x_{n},F)\geq \Phi(x_{n})\ (n\geq 1),$ то співвідношення $F'(z)=(1+o(1))L(x,F)F(z)$ виконується при $ x\to +\infty$\ $(x\notin E,\ d_{h} (E) = 0)$ для всіх $z$\ таких, що $Re z = x$ і $ |F(z)| = (1+o(1))M(x,F) $ при $ x\to +\infty.$