СИМЕТРИЧНI ПОЛIНОМИ НА ДЕКАРТОВИХ ДОБУТКАХ ДIЙСНИХ БАНАХОВИХ ПРОСТОРIВ АБСОЛЮТНО СУМОВНИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ

Анотація

Нехай $\ell_p^{(\mathbb{R})}$ --- дійсний банахів простір всіх абсолютно сумовних у степені $p\in [1,+\infty)$ послідовностей дійсних чисел. Для $n\in\N$ нехай $\ell_{p_1}^{(\mathbb{R})}\times\ldots\times \ell_{p_n}^{(\mathbb{R})}$ --- декартів добуток банахових просторів $\ell_{p_1}^{(\mathbb{R})},\ldots, \ell_{p_n}^{(\mathbb{R})},$ де $p_1,\ldots,p_n\in [1,+\infty).$ Розглянемо простір $\ell_{p_1}^{(\mathbb{R})}\times\ldots\times \ell_{p_n}^{(\mathbb{R})}$ як простір всіх послідовностей $x= (x_1,x_2,\ldots),$ елементами яких є $n$-вимірні вектори $x_j = \bigl( x_j^{(1)},\ldots,x_j^{(n)} \bigr),$ де $j\in\mathbb{N},$ таких, що послідовність $\bigl( x_1^{(s)}, x_2^{(s)},\ldots \bigr)$ належить простору $\ell_{p_s}^{(\mathbb{R})}$ для кожного $s\in \{1,\ldots,n\}.$ Функцію $f,$ визначену на просторі $\ell_{p_1}^{(\mathbb{R})}\times\ldots\times \ell_{p_n}^{(\mathbb{R})}$ називають симетричною, якщо   $\displaystyle f\bigl( \bigl( x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots \bigr)         \bigr) = f((x_1,x_2,\ldots)) $   для всіх $(x_1,x_2,\ldots) \in \ell_{p_1}^{(\mathbb{R})}\times\ldots\times \ell_{p_n}^{(\mathbb{R})}$ і для всіх бієкцій  $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}.$ В роботі доведено, що множина   $\displaystyle \left\{ H_{\boldsymbol{p},\boldsymbol{k}}^{(\R)}:\; \k\in\mathbb{Z}_+^n\;\textrm{такий, що}\;k_1/p_1+\ldots+k_n/p_n \geq 1 \right\} $