FINITE AND INFINITE ELEMENTARY DIVISORS IN THE CONSTRUCTION OF FACTORIZATIONS OF SYMMETRIC POLYNOMIAL MATRICES
DOI:
https://doi.org/10.31471/2304-7399-2025-21(79)-78-91Keywords:
регулярна поліноміальна матриця, факторизація -симетричної поліномної матриці, канонічна форма Сміта, зворотний і -зворотний матричний поліном, скінченні і нескінченні елементарні дільники.Abstract
In many applied problems, factorization of symmetric polynomial matrices with real and complex coefficients is used to construct synthesized locally optimal control, to construct integrated systems of classical mechanics, in particular, to solve the Euler-Arnold problem of the motion of a multidimensional rigid body, billiards in spaces of constant curvature.
For -symmetric polynomial matrices, the conditions for factorization with a singular factor with a predetermined canonical Smith form and a system of infinite elementary divisors over a ring with involution are obtained.
The correspondence between the factorizations of -symmetric singular polynomial matrices and -symmetric regular polynomial matrices is established, which is carried out using the concepts of the reversal and -reversal matrix polynomials and the system of infinite elementary divisors. This correspondence is based on the properties of the transformations of the reversal and -reversal of matrix polynomials and the concept of infinite elementary divisors of a factorized matrix.
Necessary and sufficient conditions for the existence of a factorization of a -symmetric invertible matrix of degree , in which the factor is an invertible polynomial matrix and has degree , are obtained. In such factorizations, the condition is satisfied that the sum of the powers of the factored factors is equal to the power of the factored matrix. If this condition of equality of degrees is not satisfied, then the existence of a factorization of a -symmetric invertible matrix is connected with the existence of an inadmissible factorization of a -reversal polynomial matrix.
Keywords: regular polynomial matrix, factorization of -symmetric polynomial matrix, the Smith canonical form, reversal and -reversal matrix polynomial, finite and infinite elementary divisors.
References
1. Казімірський П.С. Розклад матричних многочленів на множники. – К.: Наук. думка, 1981. –224 с.
2. Lancaster P. A fundamental theorem on Lambda-matrices with applications. Linear Algebra and its Appl, –1977, v. 18, N 3, p. 189–222.
3. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Spectral analysis of matrix polynomials I. Linear Algebra and its Appl, –1978, v. 20, N 1, p. 1–44.
4. Gohberg Lancaster P., Rodman L. Spectral analysis of matrix polynomials II. Linear Algebra, and Appl., – 1978, v. 21, N 1, p. 65–88.
5. Зеліско В.Р. Сингулярні дільники матричного многочлена // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. –1996. – Вип. 43 – С. 13–15.
6. Кучма М.І. Про спеціальні дільники сингулярних матричних многочленів // Матем. студії. Львів. – 1997. – Вип. 8. № 2 – С. 153–156.
7. Кучма М.І. Симетрична еквівалентність матричних многочленів і виділення спільного унітального дільника із матричних многочленів // Укр. матем. журн. 2001. Т. 53. № 2. – С. 211-219.
8. Gohberg I., Kaashoek M. A., and Lancaster P. General theory of regular matrix polynomials and band Toeplitz operators. Integral Equations Operator Theory, 11(6): p. 776–882, 1988.
9. Любачевский Б.Д. Факторизация симметрических матриц с элементами из кольца с инволюцией // Сиб. мат. журн. –1973. – 14, № 2 – С. 337–356.
10. Казимирский П.С., Щедрик В.П. О решениях матричных многочленных односторонних уравнений // Докл. АН СССР. –1989. Т. 304. № 2. – С. 271–274.
11. Зеліско В.Р., Кучма М.І. Факторизація симетричних матриць над кільцем многочленів з інволюцією // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1997. Т. 40. № 4. – С. 91–95.
12. Андреев В.А., Шепелявый А.М. Синтез оптимальных управлений для амплитудно импульсных систем в задаче минимизации среднего значения квадратичного типа // Сиб. мат. журн. –1973. – 14, № 2 – С. 250–276.
13. Веселов А.П. Интегруемые лагранжевы соответствия и факторизация матричных многочленов // Функ. анал. И его приложения. –1991. – 25, № 2 – С. 38–49.
