FACTORIZATION OF LAURENT SYMMETRIC POLYNOMIAL MATRICES OVER THE RING WITH INVOLUTION
DOI:
https://doi.org/10.31471/2304-7399-2024-19(73)-57-66Keywords:
regular Laurent polynomial matrix, the upper and lower degrees of Laurent polynomial matrix, factorization of Laurent symmetric polynomial matrix, Smith normal form, matrix values on the system of roots of diagonal elements.Abstract
Many problems in the fields of digital signal processing and communication, automatic control theory, theory of finite-state controlled systems, theory of image reproduction, and theory of data transmission devices can be converted into algebraic problems for Laurent polynomial matrices and can be solved using existing algebraic methods. Effective algebraic algorithms, which are based on elementary transformations of Laurent polynomial matrices and their factorizations, allow a complete analysis of system dynamics.
The introduced concept of semiscalar equivalence of Laurent polynomial matrices and the established lower triangular form with invariant factors on the main diagonal for them, as well as the obtained condition for regularization of Laurent polynomial matrices, allows us to find conditions for the factorization of symmetric Laurent matrices on the ring of polynomials with involution.
The article deals with the problem of factorization of symmetric Laurent polynomial matrices over a ring with involution. Necessary and sufficient conditions for the factorization of such matrices with a regular factor with a predefined canonical Smith form were obtained. A criterion for the factorization of Laurent symmetric polynomial matrices is obtained, which is parallel to the Smith factorization of its form.
References
Любачевский Б.Д. Факторизация симметрических матриц с элементами из кольца с инволюцией // Сибирский мат. журн. 1973. – 14, № 2 – С. 337–356.
Казімірський П.С. Розклад матричних многочленів на множники. – К.: Наук. думка, 1981. – 224 с.
Казімірський П.С., Петричкович В.М. Про еквівалентність поліноміальних матриць // Теорет. та прикл. питання алгебри і диф. рівнянь. – К.: Наук. думка, 1977. – С. 61–66.
Зеліско В.Р., Кучма М.І. Факторизація симетричних матриць над кільцями многочленів з інволюцією // Мат. методи і фіз.- мех. поля. 1997. – 40, № 4 – С. 91–95.
Зеліско В.Р. Єдиність унітальних дільників матричного многочлена // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1988. – Вип. 30 – С. 36–38.
Зеліско В.Р. Матриці та матричні рівняння над кільцями многочленів з інволюцією // Прикл. проблеми мех.і мат. 2010. – Вип. 8 – С. 18–22.
Казімірський П.С., Петричкович В.М. Про еквівалентність поліноміальних матриць // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. 1977. – С. 61 – 66.
Петричкович В.М. О полускалярной эквивалентности и нормальной форме Смита многочленных матриць // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 1987. – Вип. 25. – С. 13–16.
Petrychkovych V. Generalized equivalence of pair of matrices // Linear Multilinear Algebra, 2000. – 48. – P. 179–188.
Petrychkovych V. Standart form of pair of matrices with respect to generalized equivalence // Visnyk Lviv. Univ. 2003. – 61. – P. 153–160.
Kuchma М.I., Gatalevych A.I. Triangular form of Laurent polynomial matrices and their factorization // Mathematical modelling and computing, 2022. – 9. No. 1, P. 119-129.
Кучма М.І. Симетрична еквівалентність матричних многочленів і виділення спільного унітального дільника із матричних многочленів // Укр. матем. журн. 2001. Т. 53. № 2. – С. 211-219.
Зеліско В.Р., Щедрик В.П. Матриця значень на системі коренів діагональних елементів елементів матриці та її застосування // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2005. – 48, № 4 – С. 20–29.
Казимирский П. С., Щедрик В. П. О решениях матричных многочленных односторонних уравнений // Доклади АН СССР. 1989. – 304, №2. – С. 271–274.
Foster J.A., McWhirter J.G., Davies M.R., Chambers J.A. An algorithm for calculating the QR and singular value decompositions of polynomial matrices // IEEE Trans. Signal Process. 2010. – 58(3). – P. 1263–1274.
Park H. Symbolic computation and signal processing, Journal of Symbolic Computation // 2004. – 37. – P. 209–226.
Kaczorek T. Polynomial and Rational Matrices: Applications in Dynamical System. Theory, Commun. and Control Eng. Ser. London (UK). 2007.
