ДО ТЕОРЕМИ ПРО ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ НЕРIВНОСТI МIЖ ОПУКЛИМИ ФУНКЦIЯМИ

Анотація

У статті доведено таке твердження:  для будь-якої сталої $K > 1$ існують опуклі необмежені зверху на $[0;+\infty)$ функції $f$ та $g$ такі, що нерівність $f(x) \le g(x)$ виконується для всіх $x \ge 0$, а  для множини $$ E_1=\{ x \ge 0\,:\, f_{+}^{'}(x)\le K g_{+}^{'}(x) \} $$ виконується  $$ dE_{1} =\varliminf\limits_{R\to +\infty}\frac1{R}\text{\rm meas }(E_1\cap[0,R])=\frac {K-1}{K}, $$  де   $f_{+}^{'}$ та $g_{+}^{'}$ -- правосторонні похідні функцій $f$ та $g$, відповідно.