СКІНЧЕННІ ТА НЕСКІНЧЕННІ ЕЛЕМЕНТАРНІ ДІЛЬНИКИ  У ПОБУДОВІ ФАКТОРИЗАЦІЙ СИМЕТРИЧНИХ ПОЛІНОМНИХ МАТРИЦЬ

М. І. Кучма; А. І. Гаталевич

doi:10.31471/2304-7399-2025-21(79)-78-91

Автор(и)

М. І. Кучма Національний університет «Львівська політехніка»
А. І. Гаталевич Львівський національний університет імені Івана Франка

DOI:

https://doi.org/10.31471/2304-7399-2025-21(79)-78-91

Ключові слова:

регулярна поліноміальна матриця, факторизація -симетричної поліномної матриці, канонічна форма Сміта, зворотний і -зворотний матричний поліном, скінченні і нескінченні елементарні дільники.

Анотація

У багатьох прикладних задачах факторизацію симетричних поліномних матриць з дійсними і комплексними коефіцієнтами застосовують для побудови синтезованого локально оптимального керування, побудови інтегрованих систем класичної механіки, зокрема, для розв’язування задачі Ейлера-Арнольда про рух багатовимірного твердого тіла, більярдів у просторах сталої кривини.

Для -симетричних матриць над кільцем поліномів з інволюцією отримано умови існування факторизації із сингулярним множником із заданою канонічною формою Сміта і системою нескінченних елементарних дільників.

Встановлено відповідність між у факторизаціями -симетричних сингулярних поліномних матриць та -симетричних регулярних поліномних матриць, яка здійснена з використанням понять зворотного та -зворотного матричного поліномів та системи нескінченних елементарних дільників. Ця відповідність базується на властивостях перетворень зворотного та -зворотного матричних поліномів і понятті нескінченних елементарних дільників факторизованої матриці.

Одержано необхідні і достатні умови існування факторизації оборотної над кільцем поліномів -симетричної матриці степеня , в якій множник оборотна поліномна матриця степеня . У таких факторизаціях виконується умова рівності суми степенів факторизованих множників степеню факторизованої матриці. Якщо ця умова рівності степенів не виконується, то існування факторизації -симетричної оборотної матриці пов’язано з існуванням недопустимої факторизації -зворотної поліномної матриці.

Посилання

1.Казімірський П.С.Розклад матричних многочленів на множники. – К.: Наук. думка, 1981. – 224 с.

2.Lancaster P.A fundamental theorem on Lambda-matrices with applica-tions. Linear Algebra and its Appl, – 1977, v. 18, N 3, – p. 189–222. https://doi.org/10.1016/0024-3795(77)90051-9

3.Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Spectral analysis of matrix polyno-mials I.Linear Algebra and its Appl, – 1978, v. 20, N 1, – p. 1–44. https://doi.org/10.1016/0024-3795(78)90026-5

4.Gohberg Lancaster P., Rodman L. Spectral analysis of matrix polynomi-als II. Linear Algebra, and Appl., – 1978, v. 21, N 1, – p. 65–88. https://doi.org/10.1016/0024-3795(87)90201-1

5.Зеліско В.Р. Сингулярні дільники матричного многочлена // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. –1996. – Вип. 43 – С. 13–15. 6.Кучма М.І. Про спеціальні дільники сингулярних матричних много-членів // Матем. студії. Львів. – 1997. – Вип. 8. No 2 – С. 153–156.

7.Кучма М.І. Симетрична еквівалентність матричних многочленів і виділення спільного унітального дільника із матричних многочленів // Укр. матем. журн. 2001. Т. 53. No 2. – С. 211-219. https://doi.org/10.1023/A:1010412919666

8.Gohberg I., Kaashoek M. A. and Lancaster P. General theory of regular matrix polynomials and band Toeplitz operators. Integral Equations Opera-tor Theory, – 1988. 11(6): – p. 776–882.

9.Lyubachevskii, B.D. Factorization of symmetric matrices with elements from a ring with involution. I.Sib. Math. J. – 1973. 14, – p. 233–246.

10.Kazimirskiy P.S., Shchedryk V.P. On solutions of matrix polynomials sided equations//Doklady AN SSSR, – 1989. 304(2) – p. 271–274.

11.Зеліско В.Р., Кучма М.І. Факторизація симетричних матриць над кільцем многочленів з інволюцією // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1997. Т. 40. No 4. – С. 91–95.

12.Andreev V.A., Shepelyavyi A.I. Synthesis of optimal controls for ampli-tudeimpulse systems in the problem of minimizing the mean value of a functional of quadratic type.Sib. Math. J. – 1973. 14, – р.173–190. https://doi.org/10.1007/BF00967945

13.Veselov, A.P. Integrable Lagrangian correspondences and the factoriza-tion of matrix polynomials.Funct. Anal. Its Appl. – 1991. 25, – p.112–122. https://doi.org/10.1007/BF01079590