СКІНЧЕННІ ТА НЕСКІНЧЕННІ ЕЛЕМЕНТАРНІ ДІЛЬНИКИ  У ПОБУДОВІ ФАКТОРИЗАЦІЙ СИМЕТРИЧНИХ ПОЛІНОМНИХ МАТРИЦЬ

М. І. Кучма; А. І. Гаталевич

doi:10.31471/2304-7399-2025-21(79)-78-91

Автор(и)

М. І. Кучма Національний університет «Львівська політехніка»
А. І. Гаталевич Львівський національний університет імені Івана Франка

DOI:

https://doi.org/10.31471/2304-7399-2025-21(79)-78-91

Ключові слова:

регулярна поліноміальна матриця, факторизація -симетричної поліномної матриці, канонічна форма Сміта, зворотний і -зворотний матричний поліном, скінченні і нескінченні елементарні дільники.

Анотація

У багатьох прикладних задачах факторизацію симетричних поліномних матриць з дійсними і комплексними коефіцієнтами застосовують для побудови синтезованого локально оптимального керування, побудови інтегрованих систем класичної механіки, зокрема, для розв’язування задачі Ейлера-Арнольда про рух багатовимірного твердого тіла, більярдів у просторах сталої кривини.

Для -симетричних матриць над кільцем поліномів з інволюцією отримано умови існування факторизації із сингулярним множником із заданою канонічною формою Сміта і системою нескінченних елементарних дільників.

Встановлено відповідність між у факторизаціями -симетричних сингулярних поліномних матриць та -симетричних регулярних поліномних матриць, яка здійснена з використанням понять зворотного та -зворотного матричного поліномів та системи нескінченних елементарних дільників. Ця відповідність базується на властивостях перетворень зворотного та -зворотного матричних поліномів і понятті нескінченних елементарних дільників факторизованої матриці.

Одержано необхідні і достатні умови існування факторизації оборотної над кільцем поліномів -симетричної матриці степеня , в якій множник оборотна поліномна матриця степеня . У таких факторизаціях виконується умова рівності суми степенів факторизованих множників степеню факторизованої матриці. Якщо ця умова рівності степенів не виконується, то існування факторизації -симетричної оборотної матриці пов’язано з існуванням недопустимої факторизації -зворотної поліномної матриці.

Посилання

1. Казімірський П.С. Розклад матричних многочленів на множники. К.: Наук. думка, 1981. 224 с.

2. Lancaster P.A fundamental theorem on Lambda-matrices with applica-tions. Linear Algebra and its Appl, 1977, v. 18, N 3, p. 189–222. https://doi.org/10.1016/0024-3795(77)90051-9

3. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Spectral analysis of matrix polyno-mials I.Linear Algebra and its Appl, 1978, v. 20, N 1, p. 1–44. https://doi.org/10.1016/0024-3795(78)90026-5

4. Gohberg Lancaster P., Rodman L. Spectral analysis of matrix polynomi-als II. Linear Algebra, and Appl., 1978, v. 21, N 1, p. 65–88. https://doi.org/10.1016/0024-3795(87)90201-1

5. Зеліско В.Р. Сингулярні дільники матричного многочлена. Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1996. Вип. 43 С. 13–15.

6. Кучма М.І. Про спеціальні дільники сингулярних матричних многочленів. Матем. студії. Львів. 1997. Вип. 8. No 2 С. 153–156.

7. Кучма М.І. Симетрична еквівалентність матричних многочленів і виділення спільного унітального дільника із матричних многочленів. Укр. матем. журн. 2001. Т. 53. No 2. С. 211-219. https://doi.org/10.1023/A:1010412919666

8. Gohberg I., Kaashoek M. A. and Lancaster P. General theory of regular matrix polynomials and band Toeplitz operators. Integral Equations Opera-tor Theory. 1988. 11(6): p. 776–882.

9. Lyubachevskii, B.D. Factorization of symmetric matrices with elements from a ring with involution. I.Sib. Math. J. 1973. 14. p. 233–246.

10. Kazimirskiy P.S., Shchedryk V.P. On solutions of matrix polynomials sided equations. Doklady AN SSSR. 1989. 304(2). p. 271–274.

11. Зеліско В.Р., Кучма М.І. Факторизація симетричних матриць над кільцем многочленів з інволюцією. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 1997. Т. 40. No 4. С. 91–95.

12. Andreev V.A., Shepelyavyi A.I. Synthesis of optimal controls for amplitudeimpulse systems in the problem of minimizing the mean value of a functional of quadratic type.Sib. Math. J. 1973. 14. р.173–190. https://doi.org/10.1007/BF00967945

13. Veselov A.P. Integrable Lagrangian correspondences and the factoriza-tion of matrix polynomials. Funct. Anal. Its Appl. 1991. 25. p.112–122. https://doi.org/10.1007/BF01079590