ПРО СУМУ І МАКСИМАЛЬНИЙ ЧЛЕН РЯДУ ТИПУ ТЕЙЛОРА-ДІРІХЛЕ

Анотація

Розглядаються ряди типу Тейлора-Діріхле
вигляду $F(x)=\sum\nolimits_{k=0}^{+\infty}a_ke^{x\lambda_k+\tau(x)\beta_k},$ де $(\lambda_k)$ і $(\beta_k)$ послідовності невід'ємних чисел,
$\tau(x)$ невід'ємна неспадна функція, $a_k\geq 0$ $(k\geq 0)$. Клас таких функцій позначимо $\mathcal{TD}(\Lambda,\beta,\tau)$. Основним твердженням статті є теорема 2: нехай послідовність {$(\lambda_n+\beta_n)$} зростає, послідовність $\beta=(\beta_n)$ неспадна, а додатна функція $\tau$ така, що $\tau(x+h)-\tau(x)\ge h$ $(x > 0, h>0)$. Якщо виконується умова $\sum_{k=0}^{\infty}{(\lambda_{k+1}+\beta_{k+1}-\lambda_k-\beta_k)^{-1}}<+\infty,$ то для кожної функції $F\in\mathcal{TD}(\Lambda,\beta,\tau)$ співвідношення
$
F(x)=(1+o(1))\mu(x,F)
$
виконується при $x\to +\infty$ зовні деякої множини $E\subset [0,+\infty)$ скінченної міри Лебега ($\int\limits_{E}dx<+\infty$), де $\mu(x,F)=\max\{|a_k|e^{\tau(x)\beta_k+x\lambda_k}\colon k\geq 0\}$.
Теорему 2 було доведено раніше (1998) за умов строгого зростання послідовностей $(\lambda_n)$ і $(\beta_n)$.