ПРО ВIДСУТНIСТЬ ВИНЯТКОВОЇ МНОЖИНИ У СПIВВIДНОШЕННI З ТЕОРЕМИ ВIМАНА

Анотація

Нехай $S(a,b),$\ $-\infty\le a<b\le +\infty,$ — клас функцій, аналітичних в $\Pi(a,b)=\{z: a<{\rm Re}\, z<b\}$, таких що $$ (\forall x\in(a,b))\colon\ M(x,F):=\sup\{|F(t+iy)|: a<t\le x,\ y\in{\mathbb R}\}<+\infty,$$ та $L(x,F)=(\ln M(x,F))'_+$ — правостороння похідна. Через $S_{\infty}(a,b)$ позначаємо підклас класу $S(a,b),$ який складається з тих функцій $F\in S(a,b),$  що $L(x,F)\to +\infty \quad (x\to b-0),$ а через $S_0$ позначаємо клас функцій $F\in S_{\infty}(0, +\infty)$, для яких існує функція $\delta(r)\colon\mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$ така, що $\delta(r)\nearrow +\infty$ $(0\leq r\uparrow +\infty)$ та виконується нерівність $$\big|L\big(r\pm \delta(r)/L(r,F),F\big)-L(r,F)\big|\leq L(r,F)/\delta(r) \quad (r\geq r_0) $$ Нехай  $$B_{F}(r)=\sup\{\hbox{Re~}F(z)\colon \hbox{Re~}z<r\},\quad A_{F}(r)=\inf\{\hbox{Re~}F(z)\colon \hbox{Re~}z<r\}.$$ Доведено наступну теорему: Нехай $F\in {S}_0$, тоді асимптотичні співвідношення $$ M(r,F)=(1+o(1))B_{F}(r)=-(1+o(1))A_{F}(r), $$ виконуються при $r\to +\infty.$