ФУНКЦІЯ ГРІНА ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
DOI:
https://doi.org/10.31471/2304-7399-2022-17(64)-44-57Ключові слова:
функція Гріна, фундаментальний розв’язок, рівняння Колмогорова, метод Леві, вироджені параболічні рівняння, дифузійні процеси.Анотація
Анотація. В статті побудовано функцію Гріна лінійного виродженого параболічного рівняння, що має ступенів свободи, узагальнює рівняння Колмогорова. Коефіцієнти рівняння неперервні, обмежені і задовольняють умову Гельдера з показником . Використано явну форму фундаментального розв’язку рівняння з параметрами. Застосовано метод Леві стосовно властивостей фундаментального розв’язку рівнянь типу Колмогорова високого порядку з коефіцієнтами залежними тільки від , зокрема підібрана точка яка є параметриксом так, щоб зручно використовувалася експоненціальна оцінка фундаментального розв’язку та його похідних. Досліджено існування та властивості фундаментальних розв’язків рівнянь Колмогорова з коефіцієнтами, що залежать від часової змінної, а також поведінку об’ємного потенціалу породженого параметриксом. Встановлено оцінки похідних фундаментального розв’язку. Інтерес до рівнянь дифузії з інерцією викликаний їх застосуванням в економічній теорії, зокрема в теорії опціонів та широке застосування при дослідженні процесів ціноутво¬рення деривативів. Аналітичні формули, що відображають функцію Гріна узгоджені з емпіричними даними і при практичному застосуванні адекватно відображають проходження процесів на фондових ринках. Таке подання дозволяє розрахувати ринкову вартість портфелю акцій, оцінити внутрішню волатильність на ринку в будь-який час, а також проаналізувати динаміку фондового ринку.
Посилання
Weber M. The fundamental solution of degenerate partial differential equation of parabolic type. Trans. Amer. Math. Soc. 1951, 1 (71), 24-37
Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Malytska H. P. A modified Levi method: development and application // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki. – 1998. – № 5. – P. 14–19.
Malytska A., Burtnyak, І.V. On the Fundamental Solution of the Cauchy Problem for Kolmogorov Systems of the Second Order. Ukrainian Mathematical Journal. Volume 70, Issue 8, 1 January 2019, 1275-1287. DOI: 10.1007/s11253-018-1568-y.
Eidelman S. D. Parabolic systems. – Amsterdam: North-Holland Pub. Co., 1969. – 475 p.
Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. – Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964. – xiv+347 p.
Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. – Basel etc.: Birkh¨auser, 2004. – IX + 387 p.
Polidoro S. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov–Fokker–Planck type // Le Mathematiche. – 1994. – 49. – P. 53–105.
Burtnyak, І.V. Malytska A. Application of the spectral theory and perturbation theory to the study of Ornstein-Uhlenbesck processes. Carpathian Math. Publ. 2018, 10 (2), 273–287. doi:10.15330/cmp.10.2.273-287.
Lorig M.J. Pricing Derivatives on Multiscale Diffusions: an Eigenfunction Expansion Approach. Math. Finance 2014, 24 (2), 331–363.
