ПРО ФУНКЦІЇ, ПОВ'ЯЗАНІ З АНАЛІТИЧНИМИ РОЗВ'ЯЗКАМИ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ХВИЛЬОВОГО РІВНЯННЯ ТА РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

Анотація

Досліджуються властивості цілих розв'язків задачі Коші для одновимірного однорідного гіперболічного рівняння.  Розглядаючи аналітичне продовження розв'язків, заданих формулою Д'Аламбера, ми знаходимо  деякі умови, що забезпечують обмеженість \(L\)-індексу за напрямком для функцій, пов'язаних з цими розв'язками.  Зокрема, для однорідного хвильового рівняння \(c^2\frac{\partial^2 }{\partial x^2}u(x,t)=\frac{\partial^2 }{\partial t^2}u(x,t)\) з початковими умовами \(u(x,0)=\varphi (x),\) \(u_t(x,0)=\psi (x)\) його розв'язок має вигляд \(u(x,t)=\frac{\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int\limits^{x+ct}_{x-ct}{\psi(\alpha)d \alpha}.\)    Натомість вивчаються функції вигляду \(\mathfrak{H}(x,t)=\frac{\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)}{2}+ \frac{\mathfrak{E}}{2c}\int\limits^{x+ct}_{x-ct}{\psi(\alpha)d \alpha},\) де \(x,\) \(t,\) \(c\in\mathbb{C},\) \(\mathfrak{E}\) --- додатна стала, що визначається з деяких умов на функції \(\varphi\) та \(\psi\).  Наш основний результат дає достатні умови обмеженості \(\mathfrak{L}\)-індексу за напрямком \(\mathbf{b}\) для таких функцій \(\mathfrak{H}\).  Його доведення використовує відомі достатні умови для суми цілих функцій.   Насамкінець ставимо відкриті питання про умови обмеженості \(L\)-індексу за напрямком  для аналітичних розв'язків задачі Коші для рівняння теплопровідності. Ці умови дадуть змогу якісно описати  локальну та асимптотичну поведінку аналітичних розв'язків параболічного рівняння, що описують розподіл температури під час плазмового електролітичного оксидування.