АБСЦИСИ ЗБІЖНОСТІ ВИПАДКОВИХ КРАТНИХ РЯДІВ ДІРІХЛЕ

  • Андрій Олегович Куриляк Львівський національний університет імені Івана Франка
  • Олег Богданович Скасків Львівський національний університет імені Івана Франка https://orcid.org/0000-0001-5217-8394
  • Надія Юріївна Стасів Львівський національний університет імені Івана Франка
Ключові слова: кратні ряди Діріхле, абсциса збіжності.

Анотація

Нехай $F_{\omega}(s ) = \sum_{\|n=0\|}^{\infty} f(n) (\omega) \exp \{( \lambda_{(n)},s)\},$ де показники $\lambda_{(n)}=(\lambda^{(1)}_{n_1},\ldots, \lambda^{(p)}_{n_p})\in\mathbb{R}^p_+=[0,+\infty)^p,$ $(n)=(n_1, \ldots, n_p)\in\mathbb{Z}^p_+,$ $\mathbb{Z}_+:=\mathbb{N}\cup\{0\},$ $p\in\mathbb{N},$ $\|n\|=n_1+\ldots+n_p,$ а коефіцієнти $(f_{(n)}(\omega))$ є попарно незалежними комплексними випадковими величинами. У статті, зокрема доведено такі
твердження: 1) Якщо $\tau(\lambda) : = \lim_{\|n\|\to+\infty} \ln \|n\| /\| \lambda_{(n)}\|=0,$ то для того, щоб ряд Діріхле збігався м.н. скрізь в $\mathbb{C}^p$ необхідно і досить, щоб
$$(\forall \Delta > 0) : \sum_{\|n\|=0}^{+\infty} (1-F_{(n)} (\exp(-\Delta\|\lambda_{(n)}\|)))<+\infty.$$ 2) Якщо $\tau(\lambda) = 0$ і $\sigma\in\partial G_a\cap(\mathbb{R}_+\setminus\{0\})^p$ м.н., то

$$(\forall\varepsilon>0):  \ \sum_{\|n\|=0}^{+\infty} (1-F_{(n)}(e^{(-1+\varepsilon)(\sigma,\lambda_{(n)})}))<+\infty \ \wedge \ \sum_{\|n\|=0}^{+\infty} (1-F_{(n)}(e^{(-1-\varepsilon)(\sigma,\lambda_{(n)})}))=+\infty $$
де $F_{(n)}(x) := P\{\omega:|f_{(n)} (\omega)|<x\},$ $x\in\mathbb{R},$ $(n)\in\mathbb{Z}^+_p,$
– функція розподілу $|f_{(n)}(\omega)|,$ $\partial G_a$ — множина спряжених абсцис збіжності випадкового ряду Діріхле $F_{\omega}.$

Посилання

Громов В.П. Кратные ряды Дирихле / В.П. Громов // Сиб. матем. журн. – 1969. – Т. 10, 3. – С. 522-536.

Громов В.П. К теории кратных рядов Дирихле / В.П. Громов // Изв. АН АрмССР. Математика. – 1970. – Т. 5, 5. – С. 449-457.

Громов В.П. К теории кратных рядов Дирихле / В.П. Громов // Изв. АН АрмССР. Математика. – 1972. – Т. 7, 2. – С. 90-103.

Янушаускас А.И. Двойные ряды Дирихле / А.И. Янушаускас // Лит. матем. сб. – 1978. – Т. 13, 3. – С. 201-211.

Янушаускас А.И. Свойства сопряженных абсцисс сходимости двойных рядов Дирихле / А.И. Янушаускас // Лит. матем. сб. – 1979. – Т. 14, 1. – С. 213-228.

Задорожна О.Ю. Про спряжені абсциси подвійного ряду Діріхле / О.Ю. Задорожна, О.М. Мулява // Матем. студії.– 2007. – Т. 28, 1. – C. 29-35.

Задорожна О.Ю. Про спряжені абсциси збіжності кратного ряду Діріхле / О.Ю. Задорожна, О.Б. Скасків // Карпатські математичні публікації / Carpathian Mathematical Publications. – 2009. – Т.1, 2. – С. 152-160.

Задорожна О.Ю. Про області збіжності випадкових подвійних рядів Діріхле / О.Ю. Задорожна, О.Б. Скасків // Матем.Студії. – 2009. – Т.32, 1. – С. 81-86.

Skaskiv O.B. On domains of convergence of multiple random Dirichlet series / O.B. Skaskiv, O.Yu. Zadorozhna // Mat. Stud. – 2011. – V.36, 1. – P. 51-57.

Мулява О.М. Про абсцису збіжності ряду Діріхле / О.М. Мулява // Мат. студії. – 1998. – Т.9, 2. – C. 171-176.

Задорожна О.Ю. Елементарні зауваження про абсциси збіжності інтегралів Лапласа-Стілт’єса / О.Ю. Задорожна, О.Б. Скасків // Буковинський матем. журн. – 2013. – Т.1, 3-4. – С. 45-50.

Скасків О.Б. Асимптотичні оцінки додатних інтегралів та цілі функції / О.Б. Скасків, А.І. Бандура. – Львів–Івано-Франківськ: пп. Голіней, 2015. – 108 с. https://www.researchgate.net/publication/ 303922060

Скасків О.Б. Абсциси збіжності рядів Діріхле з випадковими показниками / О.Б. Скасків, Н.Ю. Стасів // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2017. – Вип. 84. – С. 76-91.

Shapovalovska L.O. On the radius of convergence of random gap power series / L.O. Shapovalovska, O.B. Skaskiv // Int. Journal of Math. Analysis. – 2015. – V.9, 38. – P. 1889-1893. http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2015.53115

Скасків О.Б. Про абсциси збіжності випадкових рядів Діріхле / О.Б. Скасків, Л.О. Шаповаловська // Буковинський матем. журн. – 2015. – Т.3, 1. – С. 110-114.

Kuryliak A.O. On the abscissas of convergence of Dirichlet series with random pairwise independent exponents / A.O. Kuryliak, O.B. Skaskiv, O.Yu. Stasiv // ArXiv:1703.03280v1[math.CV] 12 Mar 2017. – 12 p.

Kuryliak A.O. On the convergence of Dirichlet series with random exponents / A.O. Kuryliak, O.B. Skaskiv, O.Yu. Stasiv // Int. Journal of Appl. Math. – 2017. – V. 30, 3. – P. 229-238.

Куриляк А.О. Про абсциси збіжності рядів Діріхле з випадковими показниками і коефіцієнтами / А.О. Куриляк, О.Б. Скасків, Н.Ю. Стасів // Буковинський матем. журн. – 2017. – Т.5, 3-4. – С.90-97.

Erdős P. On Cantor’s series with convergent ∑ 1/qn / P. Erdős A., Rényi // Ann. Univ. Sci. Budapest Eőtvős. Sect. Math. – 1959. – V.2. – P. 93-109.

Мартикайнен А.И. О лемме Бореля-Кантелли / А.И. Мартикайнен, В.В. Петров // Записки научн. сем. Ленинград. отдел. мат. инст. Стеклова. – 1990. – Т.184. – С. 200-207 (English transl. in: J. Math. Sci., 1994, 63, 540-544).

Billingsley P. Probability and measure / P. Billingsley. – New York: Wiley, 1986.

Опубліковано
2019-02-09
Як цитувати
Куриляк, А. О., Скасків, О. Б., & Стасів, Н. Ю. (2019). АБСЦИСИ ЗБІЖНОСТІ ВИПАДКОВИХ КРАТНИХ РЯДІВ ДІРІХЛЕ. PRECARPATHIAN BULLETIN OF THE SHEVCHENKO SCIENTIFIC SOCIETY Number, (1(45), 26-36. вилучено із http://pvntsh.nung.edu.ua/index.php/number/article/view/10
Розділ
Математика та механіка

Статті цього автора (авторів), які найбільше читають